A032 Teoria della perdita massima (2004).

Riteniamo di far cosa gradita ai più tecnici tra i nostri lettori, pubblicando un nostro studio teorico del 22 luglio 2004, nella sua quarta stesura. La perdita massima percentuale viene chiamata Draw down.  Molti investitori liquidano (per timore del peggio) quando il portafoglio sta perdendo notevolmente. Sarebbe quindi necessario minimizzare tale situazione sfavorevole.

Si vuole dimostrare che il problema del Draw down non ha soluzioni soddisfacenti se non all’interno di profitti attesi che vanno stabiliti discrezionalmente. Pertanto, soluzioni basate esclusivamente sul Draw down sono parimenti discrezionali.
Supponiamo di impostare un Draw down pensando a uno strumento, ad esempio una valuta particolare e supponiamo di dire pure che un Draw down del 5% sia soddisfacente.

Supponiamo inoltre che questa valuta abbia un guadagno annuo atteso del 6% e che in quattro anni la performance ottenuta col sistema X sia +24%.

Supponiamo infine di aver ottenuto appunto un Draw down del 5%. Diciamo cioè di attenderci un Draw down non superiore alla performance media annua (pura ipotesi).

Ora sicuramente l’ipotesi migliore è che il Draw down del 5% si sia verificato quando la performance totale era del 24%.

In questo caso chi entra nel sistema a +24 di trova con una perdita di 5 e pertanto in realtà ha perso 24:5 = 100:x , il Draw down effettivo e` quindi del 20.8 %. In qualunque altro momento fosse avvenuto il Draw down del 5%, la perdita effettiva provvisoria dell’investitore sarebbe stata superiore al 20.8%. Supponendo che la performance sia lineare e che il Draw down avvenga a metà del tempo, avremo che il Draw down del 5% si verificherà quando il sistema ha una performance del 12%, ovvero 12:5 = 100:x, ovvero un Draw down effettivo del 41.66%. Quindi dipende anche dal tempo del test: più lungo il test e più inciderà il Draw down.

A questo punto sembra ovvio assumere il Draw down logaritmico, o più semplicemente (in pratica la stessa cosa) calcolare il Draw down come abbiamo fatto subito sopra (Draw down percentuale relativo e non percentuale assoluto).

Anche questo è insoddisfacente. Supponiamo infatti di considerare un’altra valuta molto stabile nel lungo termine  e che con soddisfazione di tutti si abbia una performance attesa del 10% in quattro anni, ovvero del 2.5% annuo. Applicando la regola empirica di cui sopra, diremo che un Draw down massimo del 2.5 % sarà ragionevole.

Se questo avverrà alla fine o a metà del periodo, avremo una differenza grosso modo analoga al caso precedente.

Tuttavia le oscillazioni minimali sono rigide e non sono distribuite in modo lineare. Ovvero un sistema, anche buono, che abbia una performance dopo sei mesi di 1.2% (in linea con la previsione) e un Draw down dell’1% assoluto, avrà il corrispondente Draw down calcolato in modo relativo attorno all’80% circa e pertanto la soluzione, magari, buona, verrebbe scartata.

Sembra quindi che il Draw down debba essere funzione non lineare della performance e che comunque la funzione stessa debba essere ‘a gradini’ per rispettare i tempi e/o i periodi in cui fisiologicamente performance e oscillazione minima sono vicine come valore assoluto.

Inoltre il ricercatore coscienzioso viene penalizzato. Essendo infatti la probabilità di un Draw down elevato funzione del tempo, p=f(t), esaminando periodi lunghi per cercare soluzioni valide si rischia di incorrere prima o poi in Draw down che magari oggi non si ripeterebbero più (vedere Mandelbrot). Da qui la necessità di applicare tecniche di smoothing (vedere sotto).

Dimostriamo ora come i sistemi auto-taranti tendano ad eliminare soluzioni magari valide.

Supponiamo di avere un sistema che usi delle medie piuttosto lunghe e che indipendentemente dal Draw down dia una performance del 30%.

Supponiamo inoltre di avere un sistema che usi delle medie piuttosto corte e che indipendentemente dal Draw down dia una performance del 10%.

Introducendo il Draw down:

Il sistema lungo non era in posizione al momento della caduta dei prezzi e quindi accogliamo per pura combinazione un sistema poco robusto (potrà cadere alla prossima). Questo ci lascia perplessi perché il sistema ha superato casualmente il Draw down.

1. Il sistema a medie lunghe era in posizione al momento della caduta e viene eliminato per eccesso di Draw down.
2. Il sistema a medie brevi ha molte probabilità in più di non essere eliminato.
3. Ci troveremo tendenzialmente ad avere sistemi  con tante operazioni e con poca redditivita` relativa.

Una prima osservazione a rimedio  è:  eliminare le oscillazioni che durano meno di 5 o dieci giorni circa, ovvero quelle brevi.

 Soluzioni alternative accennate.

Chi scrive ritiene che un buon approccio sia un coefficiente di determinazione (r²) puntuale.

Un esempio non vincolante.

In una tabella di 500 dati, a partire dal 25.o dato, esporremo il valore di r² degli ultimi 25 dati (in quel punto).  La pendenza ovviamente dovrebbe essere sempre positiva e questo si può avere controllando il corrispondente coeff. di correlazione o la pendenza della regressione.

La successione degli r² puntuali creerà una curva che non dovrà avere flessi eccessivi eccetera e che inoltre a sua volta potrà essere sottoposta a un r² ed  r (correlazione) e/o pendenza del secondo ordine.

Concludendo:

Isolare Draw down locali inferiori ai 10 giorni circa sembra utile per evitare che il sistema si appiattisca stupidamente.

In realtà sembra che l’investitore possa essere interessato a un sistema con una certa linearità di crescita, e questo matematicamente si può ottenere probabilmente con un r² puntuale.

Le soluzioni empiriche, oltre a non essere scientifiche, portano a soluzioni modeste.

Il problema del grosso Draw down, più probabile in funzione del tempo, si risolve introducendo metodi di calcolo a dimenticanza dei valori più lontani.

In buona sostanza, se si vuole avere un metodo di ricerca all’indietro del tempo non penalizzante, bisogna sottoporre a smussamento esponenziale i dati, in modo che i dati più recenti siano più significativi. Questo vale sia per i sistemi empirici che per gli r2 puntuali.

Le tecniche di quest’ultimo approccio sono note e sono facilmente applicabili agli r2 puntuali, ma non ai sistemi empirici di cui sopra. Una soluzione dell’empirico potrebbe essere di creare il Draw down massimo stesso in modo che  ogni operazione sia in funzione del tempo.

Esempio: 10% se si verifica nell’ultimo periodo, 12% se l’anno prima ecc. Ovviamente queste funzioni andrebbero studiate accuratamente.